Công thức và bài tập tính thể tích khối nón, diện tích hình nón

Nắm được công thức tính thể tích và diện tích hình nón sẽ giúp bạn giải các bài toán liên quan một cách dễ dàng. Nếu chưa rõ về công thức này, đừng bỏ qua bài viết bổ sung kiến ​​thức dưới đây của muahangdambao.com nhé!

Hình nón là gì?

Trước khi đi vào công thức tính thể tích khối nón, diện tích hình nón ta cần hiểu hình nón là gì? Đây là một dạng hình học 3 chiều khá đặc biệt vì nó có một mặt phẳng và một mặt cong hướng lên trên. Đầu nhọn của hình nón sẽ được gọi là đỉnh, trong khi bề mặt phẳng sẽ được gọi là đáy. Các vật dụng như nón lá, nón kem, nón sinh nhật,… là những đồ vật có hình nón trong thực tế.

Hình nón cụt là gì?

Ngoài định nghĩa về hình nón cụt ta còn có định nghĩa về hình nón cụt. Vậy côn cụt khác côn gốc như thế nào? Hình nón cụt thực chất là hình được tạo ra từ hình nón. Việc thực hiện hình nón cụt như sau:

Cho tam giác AOC vuông góc O. Khi quay tam giác vuông này quanh cạnh AO ta được một hình nón. Cạnh CO quét với mặt đáy tạo thành đường tròn tâm O bán kính OC. Khi đó, cạnh AC sẽ quét để tạo thành thiết diện xung quanh cho hình nón và cạnh AC sẽ được gọi là đường sinh của hình nón.

Từ hình nón đã tạo ta dùng mặt phẳng song song với mặt đáy cắt qua hình nón ta được hình nón cụt. Có thể hiểu đơn giản rằng, hình nón cụt là hình có hai đáy là các hình tròn có bán kính khác nhau, kích thước khác nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song có tâm là trục đối xứng.

một hình nón quay là gì?

Vậy côn quay là gì? Cho hai đường thẳng l và lần lượt cắt nhau tại điểm O và tạo với nhau một góc α. Cho mặt phẳng chứa các đường thẳng l và Δ quay quanh trục của Δ thì đường thẳng l sẽ tạo ra một khối tròn xoay và có thể gọi là một hình nón.

Đường thẳng Δ sẽ được gọi là trục, đường thẳng l sẽ được gọi là đường sinh, 2α sẽ được gọi là góc tại đỉnh, điểm I là đỉnh của hình nón. Vậy khi nói đến thiết diện của hình nón ta thấy nó không có giới hạn về thể tích cũng như diện tích.

Xem thêm: Kim tự tháp là gì? Công thức tính chu vi, diện tích, thể tích hình chóp

Công thức cho khối lượng của một hình nón là gì?

Dưới đây là công thức tính thể tích khối nón mà các em phải ghi nhớ:

Phần không gian mà khối nón chiếm chỗ gọi là thể tích của khối nón. Để tính thể tích của hình nón ta sẽ sử dụng công thức sau:

Trong đó:

• V là thể tích của hình nón
• r là bán kính của mặt đáy
• h là chiều cao của hình nón

Công thức tính diện tích hình nón là gì?

Diện tích hình nón là diện tích toàn phần của nó hay là tổng diện tích xung quanh của hình nón với diện tích đáy của hình nón đó. Công thức chung như sau:

S_{toàn bộ} = SẼ_{xung quanh} + SẼ_đáy

Cụ thể, diện tích đáy sẽ được tính theo công thức sau: S đáy = × r²

Như các bạn đã thấy, đó cũng chính là công thức tính đường tròn, vì mặt đáy vốn dĩ là hình tròn.

Cách tính thể tích khối nón cụt?

Ta gọi r1, r2 lần lượt là bán kính hai đáy của hình nón cụt, h là chiều cao, l là độ dài đường sinh. Ta có công thức tính khối nón cụt:

Trong đó:

• V sẽ là thể tích của hình nón cụt
• h sẽ là chiều cao của hình nón cụt
• r1 là bán kính cơ sở 1
• r2 sẽ là bán kính đáy 2

Các bước quan trọng để tính thể tích hình nón

Bước 1: Tìm bán kính của hình nón

• Nếu đề bài đã cho sẵn ngay từ đầu thì ta chỉ cần thay vào công thức.
• Và nếu đề không cho biết đại lượng này thì chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Với đường kính (d), chúng ta tìm bán kính bằng cách chia d cho 2.

Biết chu vi hình tròn đáy ta chia chu vi cho 2π = r = bán kính

Không đưa ra bất kỳ dữ liệu nào, hãy đo chính xác khoảng cách lớn nhất của hai điểm nằm trên đường tròn cơ sở và đường kính rồi chia số đo đó cho 2 để tìm bán kính.

Bước 2: Tìm diện tích đáy của hình nón

Khi đã biết bán kính r của hình nón, hãy áp dụng công thức tính diện tích hình tròn là S = π x r². Từ đây chúng ta sẽ tìm diện tích của căn cứ.

Bước 3: Tính chiều cao của hình nón

• Nếu bài toán đã cho, chúng ta sẽ chỉ cần áp dụng nó vào công thức.
• Nếu không có, bạn có thể tự đo bằng thước.
• Và nếu đề bài đã cho đường sinh l, bán kính r, bạn cũng có thể tính được chiều cao của hình nón bằng cách áp dụng định lý Pitago về tam giác vuông, từ đó tính được chiều cao.

Bước 4: Áp dụng công thức tính thể tích khối nón

Khi đã biết đủ các đại lượng cần tìm, hãy sử dụng công thức tính thể tích khối nón rồi thế vào để tìm ra đáp án chính xác nhất.

Xem thêm: Cách tính diện tích và thể tích hình trụ?

Bài tập tính thể tích khối nón và diện tích khối nón

Bài tập 1: Đặt một hình nón bên trong một hình lập phương. Biết cạnh hình lập phương bằng 1. Tính:

• a) Độ dài bán kính đáy của hình nón
• b) Độ dài đường sinh của hình nón là bao nhiêu?

Câu trả lời:

• a) Vì đường tròn đáy của hình nón nội tiếp với hình vuông là mặt bên của hình lập phương nên bán kính đường tròn đáy của hình nón sẽ bằng đúng một nửa cạnh của hình lập phương. Vậy bán kính đáy của hình nón sẽ là 0,5.
• b) Ta có đỉnh của hình nón tiếp xúc trực tiếp với một mặt phẳng của hình lập phương nên đường cao của hình nón cũng đúng bằng độ dài một cạnh của hình lập phương và bằng 1.

Áp dụng vào công thức tính đường sinh của hình nón, ta có:

Như vậy, ta được độ dài đường sinh là căn 5 của 2.

Bài 2: Tổng diện tích của hình nón là 375². Nếu đường sinh của nó gấp 4 lần bán kính thì đường kính đáy của hình nón sẽ bằng bao nhiêu? Sử dụng π = 3.

Câu trả lời:

Ta có: l = 4r và = 3

Vậy: 3 xrx 4r + 3 xr^2 = 375

Tương đương với: 12r^2 + 3r^2 = 375

<=> 15r^2 = 375

Vậy ta có r = 5

Vậy bán kính đáy của hình nón là 5. Từ đó tính được đường kính của hình nón là 5 x 2 = 10 cm.

Bài 3: Cho một hình nón có chiều dài 5 cm, bán kính đáy của hình tròn là 3 cm. Áp dụng công thức tính thể tích khối nón đã cho.

Câu trả lời:

Đầu tiên ta cần gọi đỉnh của hình nón O, H là tâm của đường tròn. A là một điểm bất kỳ trên đường tròn cơ sở. Từ đó ta có OA = 5 cm, HA = 3 cm.

Trong tam giác vuông OHA ta tính được OH.

Vậy thể tích của khối nón đã cho là 12π tương đương với 37,68 m³.

Hi vọng những thông tin chia sẻ về công thức tính diện tích hình nón và thể tích khối nón trên đây đã phần nào giúp các em học tốt môn toán hình học. Nếu thấy bài viết này hữu ích, hãy chia sẻ cho các bạn cùng lớp để mọi người cùng xem và đừng quên đón xem các bài viết thuộc chủ đề khác trên muahangdambao.com nhé!