Đường trung trực là gì? Lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp

Định nghĩa đường trung tuyến lớp 7 các em đã được học. Vậy các bạn đã thuộc hết tính chất đường phân giác của đoạn thẳng, tính chất ba đường trực tâm của tam giác, các dạng toán thường gặp và cách giải bài tập về đường vuông góc chưa? Dưới đây chúng tôi đã hệ thống hóa kiến ​​thức Đường trung tuyến là gì? và các vấn đề bổ sung. Hãy cùng đọc và tham khảo nhé!

Đường trung tuyến là gì?

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Cụ thể: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB cắt AB tại trung điểm I.

• d vuông góc với AB tại I
• A đối xứng với B qua d

Tính chất của đường trung tuyến

Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Định lý thuận lợi:

Điểm nằm trên tia phân giác của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó

Định lý đảo:

Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường phân giác của đoạn thẳng đó

Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Trong tam giác cân, tia phân giác của cạnh bên cũng là trung tuyến của đáy

ΔABC cân tại A. Có AM là đường trung trực của BC

Suy ra AM cũng là trung trực của BC.

Ba đường trung trực của tam giác đi qua một điểm cách đều ba đỉnh của tam giác

O là giao điểm các đường trung trực của △ABC, ta có OA=OB=OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

6 dạng bài tập về số trung bình và cách giải

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp:

• Để chứng minh d là tia phân giác của AB, ta hoặc chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc sử dụng định nghĩa đường vuông góc.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp:

• Sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó”.

Loại 3: Bài toán giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

• Sử dụng thuộc tính đường phân giác vuông góc để thay thế độ dài của một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác có độ dài của nó.
• Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp:

• Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác
• Sử dụng định lý: Nếu ba đường trung trực của một tam giác đi qua một điểm thì điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Dạng 5: Bài toán đường phân giác trong tam giác cân

Phương pháp:

• Sử dụng định lý: “Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là trung tuyến và đường phân giác của đáy này”

Dạng 6: Các bài toán về đường trung trực của tam giác vuông

Phương pháp:

• Ghi nhớ: Trong một tam giác vuông, giao điểm của các đường phân giác trong tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền

Hướng dẫn cách vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

• Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB
• Bước 2: Xác định trung điểm I của đoạn thẳng AB
• Bước 3: Vẽ đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại I

Ta có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Chia sẻ một số bài tập về đường trung tuyến (có lời giải)

Bài 1: Trên trung trực của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Hạ MH⊥AB. Trên đoạn MH lấy điểm P, gọi E là giao điểm của MB với AP. Gọi F là giao điểm của BP với MA

• Một. Chứng minh MH là tia phân giác của góc AMB
• b. Chứng minh MH là đường trung trực của đoạn thẳng EF
• c.Chứng minh AF=BE

Giải pháp

Một. Xét MAH và MBH có HA=HB (H là trung trực của AB)

b. +) Lấy E’∊ MB sao cho MF=ME’

Xem xét FMP và E’MP có

MF=ME’ (cạnh lấy điểm E’)

góc FMP = góc E’MP (vì góc AMH = góc BMH)

Cạnh chung MP

Vậy FMP = E’MP (cgc)

Suy ra góc FPM = góc E’PM _{(Đầu tiên)}

+) Gọi giao điểm của E’F và MH là K

Ta lại có ΔPHA = ΔPHB (cgc)

Suy ra góc APH = góc BPH

Trong đó góc APH = góc EPM (ngược chiều) và góc BPH = góc FPM (ngược chiều)

Suy ra góc EPM = góc FPM ₍₂₎

Từ (1) và (2) suy ra góc EPM = góc E’PM hay E’ trùng với E

Do đó MF=ME ₍₃₎

Lại PF=PE’ (ΔFMP = ΔE’MP)

Vì vậy PF=PE ₍₄₎ (Vì E trùng với E’)

Từ (1)(2)(3)(4) suy ra MH là tia phân giác của đoạn thẳng EF

c, AF= AM – FM; BE = BM – EM

Mà AM = BM (vì M thuộc đường trung trực của AB)

FM = EM(cmt)

Vì vậy, chúng tôi suy ra AF=BE

Bài 2: Cho hình bên, M là điểm tùy ý trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho đường thẳng a là đường trung trực của AC.

• a) So sánh MA + MB với BC.
• b) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Giải pháp:

a) Gọi H là giao điểm của a với AC

∆MHA = ∆MHC (cgc) => MA = MC.

Vì thế:

MA + MB = MC + MB.

Gọi N là giao điểm của đường thẳng a với BC (chứng minh NA = NC).

Nếu M không trùng với N thì:

MA + MB = MC + MB > BC (bất đẳng thức trong ∆BMC).

Nếu M trùng với N thì:

MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC.

Vậy MA + MB ≥ BC.

b) Từ a) ta suy ra: Khi M trùng với N thì tổng MA + MB nhỏ nhất.

Bài 3: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ∆BDE = ∆CDE.

Giải pháp:

D thuộc đường trung trực của BC => DB = DC.

E thuộc đường trung trực của BC => EB = EC. ∆ BDE = CDE (ccc)

Tham khảo một số bài toán về đường trung tuyến – Tự giải

Bài 1: Cho tam giác △ABC cân tại A. Hai trung tuyến CN và BM cắt nhau tại I. Hai đường phân giác trong của B và C cắt nhau tại O. Hai đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại K.

• a) Chứng minh rằng: BM = CN.
• b) Chứng minh rằng OB = OC
• c) Chứng minh 4 điểm A, O, I, K thẳng hàng.

Bài 2: Trên đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB lấy 2 điểm M và N nằm trên hai nửa của hai mặt phẳng đối nhau có chung biên giới là đường thẳng AB.

• a) Chứng minh MAN = MBN
• b) Chứng minh MN là tia phân giác của AMB

Bài 3: Cho góc xOy = 50º, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm M sao cho Ox là trực tâm của AN, vẽ điểm M sao cho Oy là trực tâm của AM.

• a) Chứng minh rằng OM = ON
• b) Tính số đo MON

Bài 4: Cho 2 điểm A và B cùng nằm trên một mặt phẳng có cạnh là đường thẳng d. Vẽ điểm C sao cho d là trung trực của hai đường thẳng BC và AC cắt d tại E. Trên d lấy điểm M bất kỳ.

• a) So sánh MA + MB và AC
• b) Tìm vị trí của M trên d sao cho MA + MB ngắn nhất

Bài 5: Cho ΔABC có góc tù A. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC lần lượt tại D và E.

• a) ΔABD, ΔACE là tam giác gì?
• b) Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trên hình?

Bài 6: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường trung trực của AC cắt BC tại I , cắt AC tại E .

• a) Chứng minh IC = IB = IA.
• b) Gọi M là trung điểm của AI, chứng minh ME = MH
• c) BE cắt AI tại N, tính tỉ số đoạn MN và AI

Trên đây là khái niệm thế nào là trực tâm và các dạng bài tập về trực tâm của tam giác thường, tam giác cân. Các tính chất của đường trực tâm được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán hình học. Đây được coi là một công cụ hữu ích mà nếu bạn ghi nhớ và hiểu các định lý và tính chất này, bạn sẽ trở nên giỏi hình học hơn. Hãy vận dụng những kiến ​​thức vừa cung cấp và tự mình giải bài tập để thành thạo hơn nhé!