Đường trung tuyến là gì? Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

Trong chương trình toán hình học 7, các em đã được học về đường trung tuyến và các tính chất, định lý về đường trung tuyến trong một tam giác. Kiến thức này được củng cố vào lớp 10. Tuy nhiên, nhiều bạn còn nhầm lẫn giữa khái niệm đường trung tuyến và đường trung tuyến. Vì thế Đường trung tuyến là gì?? Đọc bài viết dưới đây để có câu trả lời đầy đủ nhất về đường trung tuyến.

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung trực của đoạn thẳng

Trung tuyến của một đoạn thẳng là đoạn thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó

Trung tuyến của tam giác

Trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác và một đầu là trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh đó.

Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, AD là đường trung bình của tam giác ABC. Như vậy, nếu D, E, F lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC, AC, AB. Vậy AD,CE,BF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC.

Công thức và tính chất đường trung tuyến trong tam giác

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác thường

• Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm tam giác.
• Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
• Khoảng cách từ tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng 1/3 đường trung trực ứng với điểm đó.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông

ABC là hình vuông có AD là trung trực của cạnh huyền BC

=> AD = 1/2BC = DB = DC

Ngược lại nếu trung tuyến AM = 1/2BC thì ABC vuông tại A

Thiên nhiên:

• Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến của cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.
• Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa độ dài của cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.
• Đường trung tuyến của tam giác vuông có tất cả các tính chất của đường trung bình tam giác.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác cân

ABC cân tại A có trung tuyến AD ứng với cạnh BC=>AD BC và ADB = ΔADC

Thiên nhiên:

• Đường trung tuyến của cạnh đáy vuông góc với cạnh đáy. Và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều

ΔABC đều => GAE = GAF = GCF = GCD = ΔGBD = ΔGBE = GEB = ΔGEA

S_ADB = SẼ_ADC = SẼ_CEA = SẼ_CEB = SẼ_BFA = SẼ_BFC

Thiên nhiên:

• 3 đường trung tuyến của một tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
• Trong một tam giác đều, một đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác đó sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và được tính theo định lý Apollonnius:

với tôi_Một là trung tuyến cạnh a trong tam giác

tôi_b là trung tuyến của cạnh b trong tam giác

tôi_c là trung tuyến cạnh c trong tam giác

Trong đó:

• a, b, c: là các cạnh của tam giác.
• tôi_Mộttôi_btôi_c: là các đường trung tuyến của tam giác.

Các dạng bài tập thường gặp về đường trung trực

Dạng 1: Tìm tỉ số các cạnh, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

Chú ý vị trí trọng tâm của tam giác

Với G là trọng tâm tam giác ABC và AB, BE, CF là 3 trung tuyến, ta có

AG = 2/3AD; BG = 2/3BE; CG = 2/3CF

Loại 2: Đường trung tuyến với các tam giác đặc biệt (tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều)

Phương pháp:

Trong một tam giác cân (hay tam giác đều), đường trung tuyến ứng với cạnh đáy và chia tam giác thành hai tam giác bằng nhau.

Bài tập ví dụ về đường trung tuyến trong tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 17cm, BC = 16cm. Trung vệ A.M.

• a) Chứng minh: AM ⊥ BC;
• b) Tính độ dài AM.

Câu trả lời:

Một. Ta có AM là trung tuyến ABC nên MB = MC

Mặt khác ABC cân tại A

=> AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM BC

b. Chúng ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại US

Áp dụng Định lí Pitago ta có:

AC² = sáng² + MC² => 172= sáng² + 82 => sáng² = 172- 82= 225 => AM= 15Cm.

Bài 2: Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Giải pháp:

Gọi AD, CE, BF lần lượt là trung điểm của tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB, AC.

Ta có AD là trung tuyến của tam giác ABC nên AG=2/3AD _{(Đầu tiên)}

CE là trung tuyến của tam giác ABC nên CG= 2/3CE₍₂₎

BF là đường trung tuyến của tam giác ABC nên BG= 2/3BF₍₃₎

Ta có BAC đều => AD = BF = CE ₍₄₎

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra AG = BG = CG

Bài 3: Cho tam giác ABC. D thuộc tia đối của tia AB sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD tại M. Chứng minh:

• a) M là trung điểm của CD
• b) AM = 12BC.

Giải pháp: Chúng tôi có một bản vẽ:

a, Xét: BDC có AB = AD nên AC là trung tuyến của tam giác BCD

Mặt khác:

AE = 1/3AC => CE = 2/3AC.

=> E là trọng tâm BCD

M là giao điểm của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến ∆BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b, A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

=> AM là đường trung bình của BDC

=> AM = 1/2BC

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 18cm, AC = 24cm, trọng tâm G. Tính tổng khoảng cách từ điểm G đến các đỉnh của tam giác.

Giải pháp: Chúng tôi có một hình ảnh:

Gọi AD, CE, BF lần lượt là các trung tuyến nối các đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pitago ta có

trước công nguyên²= AB²+ Máy lạnh²=> TCN²= 18²+ 24²= 900=> BC= 30

Ta có hình vuông ABC và D là trung điểm của cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Vậy AG = 2/3AD = 10cm

Xét Δ AEC vuông tại A, áp dụng định lí Pitago ta có:

EC²= AE²+ Máy lạnh²=> EC²= 9²+ 24²= 657=> EC= 3√73cm=>CG = 2/3EC= 2√73cm

Tương tự, xét AFB vuông tại A, áp dụng định lí Pitago ta có:

BF²= AB²+ AF²=> BF²= 18²+ 12²= 468=>BF= 6√13cm=>BG = 2/3BF= 4√13cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G đến các đỉnh của tam giác là:

AG+BG+CG= 10+ 4√13+ 2√73 cm

Bài 5: Cho tam giác cân ABC cân tại A, các trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.

• a, So sánh tam giác AHB và tam giác AHC
• b, Gọi K, I lần lượt là trung điểm của GC, GA. Chứng minh AK, BD, CI đồng quy

Giải pháp: Chúng tôi có một bản vẽ:

a, Ta có BD là trung tuyến của tam giác ABC

CE là trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Vì AH đi qua G nên AH là trung tuyến của tam giác ABC

=> HB = HC

Xét ΔAHB và ΔAHC có:

AB = AC (ABC cân tại A)

Chung AH

HB = HC

=>ΔAHB = ΔAHC (ccc)

b, Ta có IG = IA nên CI là trung trực của AGC _{(Đầu tiên)}

Lại có KC = KG nên AK là trung trực của ΔAGC ₍₂₎

DG là trung tuyến của AGC ₍₃₎

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 trung tuyến AK, CI, DG đồng quy tại I

Qua bài viết này, hi vọng các em đã nắm được kiến ​​thức về đường trung trực và các tính chất của nó để vận dụng vào giải bài tập nhanh và chính xác.